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ResearchGateReal analysis and Functional analysis
实分析（Real Analysis）是研究实数系统和实值函数的数学分支，它以严格的极限概念为基础，系统地研究实值函数的连续性、可微性和可积性等性质。其核心内容包括测度论、Lebesgue积分理论、函数空间理论等。测度论将”长度”的概念推广到更抽象的集合上，为积分理论提供了坚实基础；Lebesgue积分则极大地扩展了 Riemann积分的应用范围，使得极限与积分的交换更加自然。实分析的理论不仅本身具有优美的数学结构，还为其他数学分支如概率论、调和分析等提供了基础工具。
泛函分析（Functional Analysis）则将实分析中的概念推广到更抽象的空间，研究无限维线性空间（主要是各种函数空间）的性质。这一理论始于20世纪初，由希尔伯特、巴拿赫等数学家奠基。其核心思想是将函数视为抽象空间中的”点”，研究这些空间的拓扑和代数结构。重要概念包括赋范空间、Hilbert空间、算子理论等。Banach空间的完备性、Hilbert空间的正交性等性质为解决微分方程、积分方程等问题提供了强大工具。