Complex analysis

复分析（Complex Analysis），也称为复变函数论，是数学中研究复变函数性质的重要分支。这一理论将实分析的概念优雅地扩展到复平面，揭示了复函数所具有的独特而深刻的性质。

复分析的核心是研究复变函数的解析性（或全纯性）。与实分析相比，复解析函数展现出更加严格和优美的性质：一个复函数在某区域解析，就意味着它在该区域内具有任意阶导数，并且可以展开为幂级数。这种性质导致了柯西积分定理、留数定理等基本定理，这些定理不仅本身极其优美，而且在实际应用中具有强大的计算能力。

该理论的重要工具包括复积分、级数展开、解析延拓、共形映射等。其中，留数理论为计算复杂的实积分提供了优雅的方法；共形映射理论则在流体力学、热传导等物理问题中发挥着关键作用。理论中的Laurent级数、Riemann映射定理、最大模原理等重要结果，为研究复函数的性质提供了强大的理论基础